Преобразование схемы примеры

Преобразование схемы примеры
Преобразование схемы примеры
Преобразование схемы примеры

Лабораторная работа №1

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

1. Цель работы

Целью работы является изучение структурных преобразований и нахождения передаточных функций с использованием автоматизированных средств моделирования на ПК – MATLAB, SIMULINK.

2. Задачи работы

– Закрепление, углубление и расширение знаний студентов при исследовании преобразований структурных схем.

– Приобретение умений и навыков работы с программой математического моделирования MATLAB.

– Овладение несколькими методами преобразования структурных схем.

3. Теоретическая часть

Для наглядного представления сложной системы как совокупности элементов и связей между ними используются структурные схемы.

Структурной схемой называется схема САУ, изображенная в виде соединения ПФ составляющих ее звеньев.

Структурная схема показывает строение автоматической системы, наличие внешних воздействий и точки их приложения, пути распространения воздействий и выходную величину. Динамическое или статическое звено изображается прямоугольником, в котором указывается ПФ звена. Воздействия на систему и влияние звеньев друг на друга (сигналы) изображаются стрелками. В каждом звене воздействие передается только от входа звена к его выходу.

На динамическое звено может воздействовать лишь одна входная величина, поэтому используются блоки суммирования и сравнения сигналов. Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы одной и той же физической природы.

Структурная схема может быть составлена по уравнению системы в пространстве состояний или по системе дифференциальных уравнений. При составлении структурной схемы удобно начинать с изображения задающего воздействия и располагать динамические звенья, составляющие прямую цепь системы, слева направо до регулируемой величины. Тогда основная обратная связь и местные обратные связи будут направлены справа налево.

Различные способы преобразования структурных схем облегчают определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме.

Преобразование структурной схемы должно осуществляться на основании правил, основные из них приведены в табл. 1.

При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном. Затем можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров, чтобы в преобразованной схеме образовались новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями, затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и сумматоров и т. д.

Различают основные соединения блоков в структурных схемах: последовательное соединение, параллельное соединение, антипараллельное соединение (обратная связь), в свою очередь обратная связь может быть отрицательной и положительной.

Таблица 1

Основные правила преобразования структурных схем

Преобразование

Структурная схема

Исходная

Эквивалентная

Свертывание последовательного соединения

Свертывание параллельного соединения

Свертывание

обратной связи

Окончание табл. 1

Преобразование

Структурная схема

Исходная

Эквивалентная

Перенос узла через

звено вперед

Перенос узла через

звено назад

Перенос сумматора

через звено вперед

Перенос сумматора

через звено назад

Перенос прямой

связи через звено

Перенос узла через сумматор вперед

Перенос узла через сумматор назад

Пример. Пусть необходимо получить эквивалентное представление для структуры, приведенной на рис. 1.

Рис. 1. Исходная схема САУ

Преобразование включает несколько этапов, показанных на рис. 2–5.

Рис. 2. Перенос узла через звено вперед

Рис. 3. Свертывание обратной связи и последовательного соединения

Рис. 4. Свертывание обратной связи и Рис. 5. Свертывание последователь-

параллельного соединения ного соединения

Таким образом, первый способ преобразования структурных схем заключается в непосредственном использовании правил, приведенных в табл.1. Неудобство использования этого подхода заключается в том, что порядок применения формул здесь достаточно произволен, возможны ошибочные шаги, усложняющие поиск решения.

Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы заключается в использовании модели системы в виде сигнального графа.

Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи между переменными, он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их направленных ветвей.

Ветвь соответствует блоку структурной схемы, она отражает зависимость между входной и выходной переменными. Сумма всех сигналов, входящих в узел, образует соответствующую этому узлу переменную.

Последовательность ветвей между двумя узлами называется путем. Контуром называется замкнутый путь, который начинается и заканчивается в одном и том же узле, причем ни один узел не встречается на этом пути дважды.

Контуры называются некасающимися, если они не имеют общих узлов.

Сигнальный граф – это просто наглядный метод записи системы алгебраических уравнений, показывающий взаимосвязь между переменными.

Рис. 6. Сигнальный граф для двух алгебраических выражений

В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраических уравнений:

, (1)

. (2)

здесь r1 и r2 – входные переменные, а x1 и x2 – выходные переменные. Сигнальный граф, соответствующий уравнениям (1) и (2), изображен на рис. 6. Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде:

,

.

Решая последнюю систему по правилу Крамера, получим:

,

.

В этих решениях знаменатель равен определителю, составленному из коэффициентов при неизвестных, и его можно записать так:

.

В данном случае знаменатель равен единице минус коэффициенты передачи отдельных контуров a11, a22 и a12a21 плюс произведение коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22. Контуры a22 и a12a21 являются касающимися, так же, как и контуры a11 и a21a12.

В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен единице, умноженной на (1-a22), т. е. значение определителя некасающегося пути от r1 к x1. В решении для x1 по отношению ко входу r2числитель просто равен a12, т. к. этот путь касается всех контуров. Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю для x1.

В общем случае линейная зависимость Tij между независимой переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой переменной xj определяется по формуле Мейсона:

,

где Pijk – коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к переменной xj, Δ – определитель графа, Δijk – дополнительный множитель для пути Pijk, а суммирование производится по всем возможным k путям от xi до xj.Дополнительный множитель Δijk равен определителю всех касающихся контуров при удалении k-го пути.

Определитель находится как:

где – сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров; – сумма произведений всех возможных комбинаций из двух некасающихся контуров; – сумма произведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся контуров.

Таким образом, правило вычисления Δ через значение L1, L2, L3…LN таково: Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций из 2 некасающихся контуров) – (сумма произведений всех возможных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +…

Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и входной переменной X(s), т. е.

где Pi – i-й путь от входа к выходу; N – количество путей; Δ – определитель графа, специальный полином, который определенным образом характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы, содержащих обратные связи, и вычисляется как сумма передаточных функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений передаточных функций разомкнутых контуров пар, троек и т. д. не соприкасающихся друг с другом цепей с обратными связями; Δi – дополнительный множитель для пути, составляется по правилу, аналогичному Δ, но только для цепей с обратными связями, не соприкасающихся с i-м прямым каналом.

Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю графа, в котором приравнены нулю коэффициенты передачи контуров, касающихся этого пути.

Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с использованием формулы Мейсона для структуры на рис. 1, которая соответствует графу, показанному на рис. 7.

Рис. 7. Описание системы управления сигнальным графом

От входа к выходу ведут два пути:

В графе есть 2 контура:

Контур L1 пересекает контур L2, поэтому определитель графа вычисляется по формуле:

Контуры в этом примере пересекают все пути, поэтому дополнительные множители путей равны:

Окончательно можно записать:

Таким образом, использование сигнальных графов и применение формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения структурной схемы.

Третий способ для получения ПФ заключается в составлении системы уравнений. Необходимо обозначить выходы сумматоров и составить систему уравнений на основе этих обозначений. На рис.9 представлена исходная схема с обозначенными сумматорами.

Рис. 9. Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами

Опишем все сигналы в системе в виде уравнений:

Подставив последовательно значения сигналов, найдем ПФ.

После преобразования получим:

Подставим полученное значение H в уравнение y:

Получим ПФ вида:

4. Краткое описание MATLAB

Лабораторная работа выполняется в программе математического моделирования MATLAB. Программа MATLAB включает в себя пакет прикладных программ для решения технических задач и одноименный язык программирования, используемый в этом пакете.

Основными компонентами системы являются базовая система MATLAB и пакет моделирования систем Simulink. Остальные пакеты расширения разбиты на 4 категории – расширения Extension MATLAB и Extension Simulink, а также комплексы пакетов расширения Blockset и Toolbox.

Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки исполняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и без них).

Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое большое число пакетов расширений системы MATLAB, такие как «Control system», «Database», «Fuzzy logic», «Wavelet» и т. д.

В разделе Blockset расположено несколько пакетов, относящихся к главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink, такие как «DSP», «Fixed-Point», «Nonlinear control design» и «Power systems».

В разделе Extension Simulink имеется ряд средств, предназначенных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-управляемом моделировании.

5. Структурные преобразования в MATLAB

В пакете MATLAB имеется ряд функций, с помощью которых можно выполнять структурные преобразования (используется эквивалентная схема):

– series(w1,w2) – последовательное соединение звеньев;

– parallel(w1,w2) – параллельное соединение звеньев;

– feedback(w1,w2) – включение звена w2 в контур отрицательной обратной связи к w1;

– feedback(w1,w2,sign) – включение звена w2 в контур обратной связи звена w1 с указанием знака + или – (очевидно, feedback(w1,w2)= =feedback(w1,w2,-1));

Пример:

Даны две передаточные функции:

Опишем ПФ, введя в окне команд MatLab следующие команды:

>> w1=tf([1 2],[1 2 2])

>> w2=tf([1 2 3],[1 2 2])

Выполним структурные преобразования для данных ПФ:

>> w2=series(w1,w2)

Transfer function:

s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6

------------------------------------ ,

s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4

>> w3=parallel(w1,w2)

Transfer function:

s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10

---------------------------------------- ,

s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4

>> w4=feedback(w1,w2)

Transfer function:

s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4

---------------------------------------- .

s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10

Для проверки правильности проведенных преобразований необходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквивалентную схему в MATLAB Simulink.

Исходная схема САУ собирается как модель из соответствующих элементов таких как «Transfer Fnc», «step», «signal builder», «scope» и «sum». Все эти элементы находятся в пакете «Simulink» и представлены в виде блоков. Для того чтобы создать новую модель необходимо нажать «File->New->Model (Simulink)», после откроется окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библиотеки, для доступа к ней необходимо нажать на значок «Library Browser».

Описание используемых элементов из пакета Simulink:

1. Transfer Fnc – передаточная функция;

2. Step – единичный скачок (функция Хэвисайда), в блоке необходимо задать время начала перехода (step time);

3. Signal builder – блок для моделирования сигнала по заданным параметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функцию);

4. Scope – виртуальный осциллограф, отображает получившийся график, открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для коррекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и из выпадающего меню выбрать «autoscale»;

m – сумматор, в параметрах задается число сигналов, соответственно «+» - положительный, «–» - отрицательный.

Так же нужно задать время работы модели, для этого необходимо выбрать «Simulation->Simulation parameters» и установить параметр «stop time» на нужное значение, и после необходимо запустить модель на выполнение, нажав на значок «Start simulation». Пример модели составленной в MATLAB представлен на рис. 10.

Рис. 10. Пример схемы САУ с блоком «signal builder»

Задача считается решенной, если при подаче на вход обоих схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок, импульсная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы.

6. Задание на лабораторную работу

Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквивалентную передаточную функцию. Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB. С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразования) составить эквивалентную схему. Вариант задания назначается преподавателем.

7. Методика выполнения задания

Порядок выполнения работы:

1. Выполнить преобразование заданного варианта структурной схемы САУ (см. табл. 2) в эквивалентную ПФ тремя способами:

– непосредственно используя правила табл. 1;

– используя представление в виде сигнального графа и формулу Мейсона;

– составив систему уравнений и решив её.

2. В качестве звеньев W1,W2,W3 использовать передаточные функции звеньев, представленных в табл. 2.

3. Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB, построить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное воздействия.

4. С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразования) составить эквивалентную схему и построить реакцию на ступенчатое и импульсное воздействия.

5. Подготовить ответы на контрольные вопросы.

Таблица 2

Варианты структур САУ

Исходная схема

Передаточные функции

1

,

,

2

3

4

,

,

5

6

,

,

7

8

8. Требования к содержанию и оформлению отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и получающихся промежуточных результатов, выполненными тремя способами, моделирование реакции схемы на типовое воздействие (скачок) до и после преобразования;

б) сигнальный граф системы, описание путей, контуров, расчет ПФ по формуле Мейсона;

в) решение составленной системы уравнений;

г) схема модели и протокол команд MATLAB;

д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок, импульс);

е) ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1.  Что называется структурной схемой? Какие задачи можно решить с её помощью?

2.  Как может быть составлена структурная схема?

3.  Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения структурной схемы? Поясните на конкретном примере.

Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры Преобразование схемы примеры

Похожие статьи:




Схема вязания пожарной машины




Drazice схема подключения насоса




Капиталка мотора своими руками




Вязание крючком теплые шапочки




Навес для автомашин своими руками